دو عدد طبیعی را در نظر بگیرید که حاصل ضرب آن‌ها برابر با 36 است. هدف ما پیدا کردن این دو عدد است به طوری که مجموع آن‌ها کمترین مقدار ممکن را داشته باشد. 🤔
ساده‌ترین راه برای حل این مسئله، لیست کردن تمام جفت‌های اعداد طبیعی است که حاصل ضرب آن‌ها 36 می‌شود و سپس محاسبه مجموع هر جفت. در نهایت، جفتی که کمترین مجموع را دارد انتخاب می‌کنیم. 🤩
| عدد اول | عدد دوم | حاصل ضرب | مجموع |
|---|---|---|---|
| 1 | 36 | 36 | 37 |
| 2 | 18 | 36 | 20 |
| 3 | 12 | 36 | 15 |
| 4 | 9 | 36 | 13 |
| 6 | 6 | 36 | 12 |
همانطور که در جدول مشاهده می‌کنید، کمترین مجموع برابر با 12 است که مربوط به جفت اعداد 6 و 6 می‌باشد. 🎉
برای یافتن کمترین حاصل جمع، می‌توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که هرچه دو عدد به یکدیگر نزدیک‌تر باشند، مجموع آن‌ها کمتر خواهد بود. بنابراین، بهترین حالت زمانی است که دو عدد برابر باشند. 🤓
در این صورت، هر دو عدد باید برابر با جذر 36 باشند:
بنابراین، دو عدد 6 و 6 هستند که حاصل ضرب آن‌ها 36 است و مجموع آن‌ها برابر با 12 می‌باشد. 🥳
می‌توانیم مسئله را به صورت یک مسئله بهینه‌سازی فرموله کنیم. فرض کنید x و y دو عدد طبیعی باشند که حاصل ضرب آن‌ها 36 است، یعنی . هدف ما کمینه کردن مجموع x + y است. 🧐
از معادله اول می‌توانیم y را بر حسب x بیان کنیم: . سپس، تابع هدف را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم: .
برای یافتن کمینه تابع، می‌توانیم از مشتق‌گیری استفاده کنیم. مشتق f(x) نسبت به x برابر است با: .
با برابر قرار دادن مشتق با صفر، می‌توانیم نقاط بحرانی را پیدا کنیم: . حل این معادله به ما می‌دهد: , که نتیجه می‌دهد x = 6 (چون x باید مثبت باشد). در این صورت، y = 36/6 = 6. بنابراین، کمترین مجموع برابر با 6 + 6 = 12 است. 😎
این مسئله نمونه‌ای از مسائل بهینه‌سازی است که در بسیاری از زمینه‌های علمی و مهندسی با آن مواجه می‌شویم. برای مثال، در اقتصاد، ممکن است بخواهیم سود یک شرکت را با توجه به هزینه‌ها و درآمدها بهینه کنیم. یا در مهندسی، ممکن است بخواهیم وزن یک سازه را با حفظ استحکام آن کمینه کنیم. 🚀